CB no maneja las contraseñas eso lo hace Joomla por lo que el problema en si no es de CB sino de Joomla.
Habilita la depuración en la configuración general y prueba a ver si tira error.
Otra cosa es limpiar la tabla de sesiones en la base de datos.

Hola Hertak

Mi nivel de SQL es bastante normalito, y cuando se registra o se desloguea (tras el cual pierde el password) sólo veo en la consola SELECT o UPDATE, no logré ver ningún error aparente.

También hice lo de sincronizar usuarios en CB pero da el mismo problema.

¿Hay que tocar algo en Joomla para que guarde las contraseñas?

Los usuarios creados por el gestor de usuarios de Joomla para acceder al administrador y demás no dan problemas, mientras que para el acceso a contenidos que se rigen por CB al habilitar el CB Login no guarda la contraseña

¿Se le ocurre alguna solución?

Saludos y gracias